Численный анализ и методы для несжимаемых уравнений Навье-Стокса
(вводный курс)
Ольшанский М.А.
Программа спецкурса, 1/2 года, для 3-5 курса мех-мат МГУ.
Возможны изменения в течении семестра.
Разбиение на лекции условно и может не сохраняться в течении семестра.
- Лекция 1. Введение в предмет спецкурса. Пространства Соболева и
простейшие теоремы вложений. Задача Дирихле для уравнений Пуассона.
Вариационная постановка задачи. Лемма Лакса-Мильграмма и ее следствия.
Апроирные оценки и гладкость решений задачи Дирихле. Условия на границу
области.
- Лекция 2. Задача Неймана. Вариационная постановка. Априорные
оценки для решений. Теорема о гладкости решений.
Параболические уравнения, уравнение теплопроводности. Вариационная
постановка. Оценки и гладкость решения.
Уравнения конвекции-диффузии. Оценки решения в предположении о его
существовании.
- Лекция 3.
Конечные элементы. Простейшие конечные элементы: линейные и билинейные.
Теоремы об аппроксимации. Запись схемы конечных элементов в виде СЛАУ.
Методы решения сеточных задач: Якоби, Зейделя, многосеточный метод.
- Лекция 4. Задача Стокса. Вариционная постановка. Свойства
пространства соленоидальных функций. Операторы
,
,
и 
.
Сведение задачи к бигармоническому
уравнению в 2х-мерном случае. Оценки и гладкость решения задачи Стокса.
Уравнение Пуассона для давления, проблема постановки краевых условий.
- Лекция 5.
Конечные элементы для задачи Стокса. LBB (inf-sup) условие. Теорема об
аппроксимации решения. Матричное представление в виде системы с седловой
точкой. Дополнение Шура и его свойства.
- Лекция 6.
Итерационные методы для задачи Стокса. Методы Узавы, блочно-диагональное
переобуславливание, блочно-треугольное переобуславливание.
Многосеточный метод.
- Лекция 7.
Уравнения Навье-Стокса. Сходимость метода конечных элементов в
предположении о существовании и единственности решения.
Неявная и явная схема метода Галеркина. Доказательство устойчивости и
условной устойчивости.
- Лекция 8.
Схемы расщепления. Схемы Чорина, Ван-Кампа, Пирроно-Гловинского.
Эффект численного погран. слоя. Доказательство порядка 1/2 по "времени" для
сходимости метода Чорина.
- Лекция 9.
Конечные разности для CFD. MAC схема. Аппроксимации против потока.
SUPG схема. Искуственная вязкость.
- Лекция 10. Эффект больших чисел Рейнольдса. Погран. слой.
Модельные задачи. Понятие benchmarking. Примеры расчетов.
Обратно